ざ・一次不定方程式 合同式で楽々
HTML-код
- Опубликовано: 18 сен 2024
- 厳選２００問 詳しい解説、解説動画へもワンクリックで飛べる→
note.com/kanta...
厳選５０問Vol.3→note.com/kanta...
中学生の知識で数学脳を鍛える！８つのアプローチで論理的思考を養う』amzn.to/2UJxzwq
ブルーバックス「大学入試数学 不朽の名問100 大人のための“数学腕試し”」amzn.to/2Q7bUvU
この1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8C
オイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。www.ttrinity.j...
過去動画の大学別・分野別検索はHPからkantaro1966.com
連絡先 仕事の依頼 問合せ→
kantaro@momo.so-net.ne.jp
ツイッター / kantaro196611
お勧め動画
自然対数の底e ネイピア数を東大留年美女＆早稲田中退の社会不適合文系コンビが真面目に語る • 自然対数の底e ネイピア数を東大留年美女＆早...
＃数学 ＃高校数学 ＃大学入試
私はこの手の問題はいつも無理矢理くくっちゃうやり方で解いてます。
14x+83(x+y)=1
として、x=6 x+y=-1 からy=-7
あとは動画通りのやり方って感じで。
問題が解けるように出来てるせいかパッと見はややこしい数字でも
くくっちゃうと1になる組み合わせが案外簡単に見つかるんですよね。
97x+83y=23
mod 83 のもとで
14x≡23
84x≡138
x≡55
∴x=83k+55 (kは整数)
これを与式に代入して
97･(83k+55)+83y=23
83y=-83･97k+23-97･55 ←
83y=-83･97k-5312
y=-97k-64
∴(x,y)=(83k+55,-97k-64)
私はいつもこうやってますが、
←のところで数字が大きいと
計算ミスしそうになる。
おはようございます。
最近、数学離れしていて、英語ばかりに気がとられていたのですが、貫太郎さんの講義を聞きたくてまた来ました😊
ユークリッドの互助法も、MODも、貫太郎さんのおかげで、出会えたので本当に感謝です😊✨
14x≡23(mod83)の時に両辺6倍すればちょうどxの係数が1になるのを見つけられて多少楽でした。
とにかく合同式と等式を行ったり来たりしながら解きました。
まず，動画と同じようにmod 83を考えて
14x ≡ 23 ①
①を等式表現にして
14x = 83a + 23 (a ∈ Z) ②
次に②でmod 14を考えて
0 ≡ - a + 9 ⇔ a ≡ 9 ③
③を等式表現にして
a = 14b + 9 (b ∈ Z) ④
④を②に代入して
14x = 83*14b + 83*9 + 23 = 83*14b + 770
∴x = 83b + 55 ⑤
⑤を元の式に代入して
97*83b + 97*55 + 83y = 23
⇔ 97*83b + 83y = - 5312
⇔ 97b + y = - 64
⇔ y = - 97b - 64 ⑥
⑤と⑥が求める一般解である。
nice!
@@小菅智之 さん
Thanks!
これは互除法のプロセスを丁寧に記述しているのかな。
偉いなぁ。
16の性格という心理テストがありますけど、私はどうやってもENTPというザ・社会不適応な性格に落ち着いてしまい、…まぁ、なかなか難儀です。
こういう人間こそ一人で生きていくより誰か(アイデア型を嫌がらない常識人)と組んだほうが成功しやすいのですが。
@@smbspoon-me-baby さん
ご返信ありがとうございます😄
まあ結局やってること自体の根本は互除法と同じなのだと思います。
個人的には，この問題だと，合同式か等式変形のどちらかだけで
押し切るのには煩わしさを感じたので，都合良く合同式にしたり等式にしたり
とやってみたら，案外すんなりいったってところですかね。
常識を受け入れるか疑うか？は永遠のテーマでしょうか🤔
会社組織なんかでもアイデアを出す人がいないと
今風に言うところの「イノベーション」は生まれないのですが
生まれたアイデアを形にする方法を考える人と，形にする作業を実行する人と
全てが揃わないと，せっかくのアイデアも「机上の空論」となってしまうので
アイデア型を嫌がらない常識人の存在も確かに必要ではありますね🤔
@@smbspoon-me-baby 16の性格って何かあったなぁと思い、ちょっとやってみた。
合ってるかどうか知らんけど、オイラはINFP―T仲介者型だってさ。
シェイクスピアやビョークと気が合うらしい（笑）。
前半のユークリッドの互除法、私も苦手だったんですが、「商以外の数(この場合だと97, 83, 14,...)に下線を引き、それぞれ変数だと思って遡っていく」というハックを知ってから混乱しなくなりました。
式を見た時mod12しか思いつかず、エレガントではないけど別解できました。
与式から x - y ≡ -1 mod12
よってy = x +1 +12n と表せて、これをもとの式に代入すると
97x + 83(x +1 +12n) =23
x = (-5 - 83n)/15
xは整数なので、n = 5 + 15k と表せて、このとき x = -28 - 83k
y = x + 1 + 12n = 97k + 33
エアコンないと夜よく寝られナイト
サムネどおり、modで行きました。入試の動画を見ながら、31度を超えた室温でも出せたので、良かったです。二十歳くらいまでは扇風機だけで、昼からはプールに行ったものです。
時代がどんどん変わっていく。
この手の問題はどうせ解けるので、初期状態そのままで特殊解探したらどんなもんだろう…とやりたくなる
今回は1分半くらいで、個人的には初めてユークリッドの互除法などを使った方が早い問題に出会いました
「どうせ解ける」は、いいね！
知らないことが多く大変勉強になりました。自分でできるようにします。
合同式を使うやり方で大きい数の対応が苦手だったのでこの説明は助かりました
97x+83y
=14x+83(x+y)
=14(7x+6y)-(x+y)
=28-5
=23
よって 7x+6y=2, x+y=5 をみたす(x, y)が解のひとつ.
これを解くと, x=-28, y=33.
おはようございます。
"ぼーっ" と見ていたら (x,y)=(138,-161) が一つの解であることを見つけたので…というのは嘘ですが、
97×6-83×7=1 は一瞬で "見え" ました…
"数字で遊ぶ" という子ども心のかけらが、私の中にまだ残っているようです。
見えるんかい! 笑
鉢さんはつくづく、私とは違う数字の遊び方を知っていらっしゃる方ですね。
昼休みに参考書見ながら解けました〜😊❤️👍
97-83=14 から 97×6+83×(-7)=23 まで導きだす部分においては、ビデオで紹介している計算方法よりほんの少しだけ楽で早い方法を見つけましたので、
以下に紹介いたします。（14×7=98 が 97より１だけ大きいことに着目いたします。）
まず、97-83=14 の両辺を それぞれ7倍して、97×7-83×7=98
次に、両辺から 97を引くと、97×6-83×7=1 となります。（もう、これでできたようなものです。）
∴ 97×6+83×(-7)=23
以上の通り、97-83=14 に「両辺7倍」「両辺から97を引く」「 -83×7 を +83×(-7) にする」の手順だけで 97×6+83×(-7)=23 にまで式変形できます。
（このやり方は、どうでしょうか・・・？）
なんで必要条件だけで、解であると言えるんだろうと思っていたけど、97x -23が83の倍数になれば83(k＋y)＝0になって、y＝−kとすれば求まるから必要十分だったんですね。もやもやが解けました
11:55
ｘ≡55（mod 83）
これにたどり着いた時点で
ｘは83で割って55余る数と考えて直接
ｘ＝83k+55
とやってもいいですかね。
おはようございます。modの威力を、痛感しました。お陰様で私の中古脳が、活性化しました。感謝します。
基本、四則演算しか使っていない話なのに難しいのが面白いですね。
前半の 97x+83y=1 の解を求める話、y/xはおよそ-83/97のはずなので、それをヒントにできないかと考えるんですが、簡単でないですね。
解けました。
こういうのは本質がわかってなくても解けちゃう作業だな。
九九覚えるのと大して変わらんよ。
コメント欄見てると、不定方程式って色んな解法があるんだなぁと感じます。
それでも、考えていくと結局やっていることの本質は同じことに気づくと面白いですね
ヨシッ❗
不定方程式、嫌い💔＆苦手😭。
でも、一応、答は出すけどね。
答え出してえらーい。
赤澤式はきだし法で一般解を導きましたがmodも面白いですね！
modでも互除法でも一般解の一つを求めるところが少しややこしく感じます。この問題だとmodが少し楽かな。
いつのも方法で。
93+83y=23 ..(1)
を mod83 で見て
97x≡23
14x≡23 ..(2)
また常に
83x≡0 ..(3)
(3) と (2)×5 から
83x≡0
70x≡115≡32
13x≡-32
これと (2) から
x≡55
つまり k を整数として
x=83k+55
これを (1) に代入して y について解くと
y=-97k-64
(2)を6倍して(3)を引けばx≡138≡55
もとの数より大きい数を扱う必要が絶対にない という意味ではユークリッドの互除法はやはり偉大ですね。
97－83＝14 に着目して mod 14 をとると x＋y≡5 (mod 14) となるので x＋y＝14m＋5 と書ける。
これより y＝14m＋5－x を元の式に代入して y を消去すると
x＝－83m－28
y＝97m＋33
はじめのやり方はどうしてそう考え付くのか？と疑問に思うと思います。
結局は強引に因数分解していき、どんどん文字を置き換えていくことで、文字の係数が１になり、一般解が得られる、と考えるのが自然と思います。
ほほう。
まぁ、互除法は結局は「アルゴリズム」なんだと思いますので、「こうやったらできるから、やってみ？」ではなく、なぜ「そうやったらできるのか」を説明しないことには、科学的とはいえず天下り的です。
そういう教え方、体育の授業ならまだそれでもいいんですけどね。
よい教師と悪い教師の差もそこにあるといえるでしょう。
3:22
7:45
8:24🌟
11:05
自分用！
ユークリッドの互除法は本質的には、連分数に直して最後の項を除いた数を用いるのと同じですね。
97/83は連分数では、97/83=[1;5,1,13]。
最後の項を除いた分数は
[1;5,1]=7/6。
ゆえに、
97*6－83*7=1
(今回は1になりましたが、場合によっては-1に)
じ一次方程式
mod p (pは素数)
なら割り算していい理由
合同式で割り算したい時は「ある数aで割る」といより、「ある数aに対して、あるbが存在してab=1 (mod p)を満たすので、その様なeを掛ける」
となるってイメージです
ではその様なbが存在することを示します
A={1,2,…,p-1}とします
まず、
Aの任意元aは
a≠2a≠3a≠…≠(p-1)a (mod p)を満たす事を示します
もしAの相異なる元u,vで、ua=va (modp)となるものが存在すると仮定すると
ua=qᵤp+rᵤ , va=qᵥp+rᵥ (q,rは商と余り)
と表、またu>vとしてもさしつかえないので
ua=qᵤp+rᵤ
va=qᵥp+rᵥ 上の式から下の式をひくと
(u-v)a=(qᵤ-qᵥ)p+(rᵤ-rᵥ )
となるが
(u-v)≠0 (mod p),a≠0 (modp)
から(u-v)a≠0 (modp)
ua=va (modp)という仮定から
(rᵤ-rᵥ )=0 (modp)
また
(qᵤ-qᵥ)p=0 (modp)は明らか
以上から
(u-v)a≠(qᵤ-qᵥ)p+(rᵤ-rᵥ ) (modp)
となり矛盾
よって
{a,2a,3a,…(p-1)a} ={1,2,…,p-1}
すなわちAの元でab=1 (mod p)となるものがただ1つ必ず存在する
優秀、優秀。今度、教えて下さい。お願いします！
@@kosei-kshmt
返信ありがとうございます
今回の証明の流れは、
うまく有限集合Xをとってきて、XからXへの全単射fを考えるって感じですね
あえて有限集合と言ったのは、集合Eが無限集合の場合、定義域と終域がEで、
値域がEの真部分集合Fとなるも(下の式)があったりして、少し話がややこしくなるからです。
f：E→E f(E)={f(e) | e∈E }=F
(mod p)について考察すると、いろいろ面白い事があります
もし興味があるなら群論の本を読むといいと思います
@@defabc3549 さん
指摘された通り本箱の群論を捜してみたいと思いますが、ユニタリー変換のことで半世紀前に読んだので懐かしいです。頑張って下さい、期待しています。
@@kosei-kshmt
ありがとうございます！
半世紀前ですか…
僕も何歳になっても数学を楽しみめる様な人になりたいです
@@defabc3549 さん
頑張って下さい、期待していますよ。くれぐれも身体には気を付けて、無理はしないでね。
おはようございますです。
いや昨日はえらいこと(コメント大不具合)になってたけど今日はどうかな
そして今日は好物です
はいこら合同式～
こういうときは小さい方の係数でmodとるんよね
x = 83t - 28
y = -97t + 33
(t∈ℤ)
数がでかかろうが、素数だろうがtの係数に元の係数と同じ数字が出てくるという(斜交いで)
この前はtの係数の符号間違えたコメントしたんでしたねぇ……
そして動画視聴
あー長年の疑問が解けました
合同式を使わないときのユークリッド互除法って、末路が1にならないと成立しないんよねぇ
1にならないときはどうすればいいのかが謎だったんですね
(高校の頃から合同式で解いてたので)
そして、割っちゃいけないというのは もっとどんどん大声で言ってほしいところです。
整式の剰余で合同式を使う学派は、平気で左辺と右辺と法で割り算しますからねぇ……
更に、媒介変数表示は幾通りかの書き方がありますけど、どれ書いても大丈夫なんでしょか(採点官がそれなりに大変そう。採点基準に複数パターンが書かれているのかな)
今回の解説の(138,-161)(55,-64)ときて私の(-28,33) どれでもいいんですよね
(私は絶対値が小さくなるようなのを選んでます)
もう一次の不定方程式では満足できないようになってしもた
(かと言って三次のを出されても困る)←円錐曲線大好き
合同式ねぇ…mod23と思ったら83だったのねぇ…
ただ、タイトルで合同式で考えてみたけど、要するに分数の掛け算やんと。
じゃあ、首尾よく23で割れる数に変えられるx､yを見つければいいんだな…と予想して視聴したら、もっとスマートな方法だったｗ
…てか、こういう不定方程式ってやった覚えが🙇♂🙇♂
modにもっていくのは必要条件での解法で論理的× 十分性について論述しないと
カンタローの互除法
mod23でやってみたら、X=-1,Y=2で必要条件ぽくなったが、代入したら69になってしまった。ということは、X=-1/3,Y=2/3で23となるが、分数から整数への修正が分からない。どなたかお知恵を頂けないでしょうか。
@@user-wh2ry9ms2v 確かにそうですね。23の倍数を作る組を探しても、問題の条件が甘くなっているだけでした。ありがとうございます。
私も最初mod23で考えて同じようになりました
そこからでもいけました
まず与式を両辺３倍して =69 とします
引き算すると
97(3x + 1) + 83(3y - 2)= 0
が出ます
ここで各項うまく3で割り切れるように定数部を作ります
具体的には
3x + 1 = 83(3K+2)
3y - 2 =-97(3K+2)
としてあげれば動画の後半と同じ値で解が出ます
@@rosade901 スケールを３倍してその後が自分ではわかりませんでした。なるほど。
・・・
特殊解のこと一般解って言っちゃってますね😊
ちなみに、97・83・23(こう書くとスリーサイズみたいだが)に共通する特徴として、mod12で±1になるんですね。
だからって(x-y≡-1(mod 12)からでは)解けないでしょうけど、問題の数字は何も考えずに設定されているとは思えないので、何かの背景にはなっているのかな？
前半のユークリッドの互除法で求めるやり方。
自分もすぐ頭がゴチャゴチャになって？？？となってしまいます。
既知の情報を整理することが数学の実力と認識していますが、貫太郎先生ですら苦手なことに少し驚きです。
自分は、RUclips 動画 「超分かる高校数学」 で上げられている次の動画でその方法を学びました。
この動画の本田さん。1年少し前にご結婚されて、ちょっと前にお嬢様が誕生されました。
もう7年ほど前の動画で（旧作）ですが、個人的にはこの頃の本田さん、勢いがあって好きです。
ruclips.net/video/XPmji4Srxm4/видео.html
さて、合同式を用いての解法
14x≡23 （mod 83) となった段階で自分は一瞬手が止まります。そこで
14x=23+83ｍ ｍ∈Z
とおいて 左辺が14の倍数だから右辺も14の倍数
23≡9 (mod 14) だから 83m≡-9 （mod 14)
14n-9=83m という不定方程式を解くことに帰着。n∈Z
9＝14n-83m としたときに n=6, m=1 のときに 14n−83m=1
となるから、n, m それぞれ 9倍して
n=54, m=9
14x=23+83×9=770
x=55
x≡55 （mod 83だから）
x=83k+55 k∈Z
あとは上記のｘを与式に代入して
ｙ＝-97k-64
としました。本日も勉強になりました。ありがとうございました。
共通テストで評判悪かった整数問題思い出すな。
あれも結局は一次不定方程式の一般解特殊解の問題だと思うんだけど。
既知の問題に帰結させることができないヤツは、だいたい焦ってボロボロになる。
分かるとは分けることであり、利口な人間とはカテゴライズができる人間のことなんだ。
ダメだわこういうの。なんていうんだろう、互除法にせよなんにせよ、かっちり「作業内容」が決まりすぎていて、「自由な思考」が入り込む余地がない。
要するに「作業」なんですよ。
実社会の仕事でも「作業」は、言葉は悪いですが頑固な頭脳自慢ほど苦手とする印象ですよね。
同じような話として、派遣に登録すると嫌というほど紹介される軽作業や倉庫系、あと警備系の求人は一瞥もしませんが、世の中にはこういうのが楽で好きな人もいるのですから、まぁ何ともいえませんね。
私の「スーツ・制服嫌い」の根源もそこにあったようです。
「作業」を嫌う心は「自由な思考」を好み、「形式の押し付け」を嫌う心に通じます。
代数学は諦めました。
スピノザが『エチカ』で自由を謳いながら生き難さを感じていたのと同じですね。Einsteinもスピノザのファンでしたから自信を持って生きればいいと思いますよ。変わらぬ信頼を込めて。
@@kosei-kshmt さん
ありがとうございます。
なんか心情吐露が増えすぎてる時はだいたい「エモすぎて」ヤバいのですが、変人の何が変人たる所以か？を突き詰めていくと、まさにその「エモさ」なんでしょうからね。
福本伸行が「天」で赤木に「さらっと生きてねぇ異常者」と「天才」を定義させましたが、私が「天才」かどうかは別としてそういう気質を少なからず持っているのは仕方ないことですから、今日は目一杯休養に当てようと思います。